Construção de uma técnica numérica para o cálculo do maior expoente de Lyapunov

Resumo

Sistemas caóticos são geralmente relacionados como modelos simplificados de sistemas
complexos, como terremotos, clima e mercado financeiro. Uma importante característica de
sistemas caóticos é a sua dependência exponencial às condições iniciais, que faz com que duas
respostas, inicialmente próximas, de um mesmo sistema, tornem-se completamente
descorrelacionadas em pouco tempo. Essa divergência de trajetórias é medida pelos chamados
expoentes de Lyapunov. Se ele é positivo o sistema é caótico, se é nulo o sistema é periódico ou
quase-periódico. No nosso trabalho, aprofundamos o conhecimento em sistemas lineares e nãolineares
dinâmicos. Foi feita uma revisão dos estudos de cálculo numérico com foco na
resolução de sistemas lineares e não-lineares. Estudamos linguagem básica de programação
com ênfase em Python, linguagem de programação usada na implementação dos métodos
numéricos abordados. Através da realização do projeto, a bolsista pôde obter solidificar sua
formação na resolução de equações diferenciais ordinárias de maneira analítica e numérica,
além comparar soluções dessas equações para diferentes métodos numéricos. Pôde também
obter series temporais ao realizar as simulações numéricas de alguns resultados da literatura e
compreender o método de Runge-Kutta e Runge-Kutta de 4ª ordem para soluções dessas
equações. Além disso, pode cálculos para o maior expoente de Lyapunov e propor uma técnica
alternativa para o cálculo do expoente de Lyapunov local. Com a realização da pesquisa,
concluímos que estudos de dinâmica não-linear e caos e de diversas técnicas numéricas para
caracterizar e estudar a evolução temporal de sistemas dinâmicos caóticos é de fundamental
importância na compreensão de sistemas complexos e na busca pela previsibilidade dos
mesmos. Além disso, compreender e poder medir o maior expoente de Lyapunov é essencial na
caracterização de um sistema complexo.